การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
การคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นปัญหาพื้นฐานที่พบเจอเป็นประจำในสถานการณ์ต่างๆ มีหลายวิธีที่จะหาคำตอบ ขึ้นอยู่กับว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมบ้าง วิธีเหล่านี้เป็นสูตรหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ใช้กันบ่อยๆ
ใช้เรขาคณิต
พื้นที่ S ของรูปสามเหลี่ยม คือ S = ½bh เมื่อ b คือความยาวของด้านใดๆในรูปสามเหลี่ยม (ฐาน) และ h (ส่วนสูง) คือระยะทางตั้งฉากระหว่างฐานกับจุดยอดที่ไม่ใช่ฐาน วิธีนี้แสดงให้เห็นได้ด้วยการสร้างรูปทางเรขาคณิต

เปลี่ยนรูปสามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่มีพื้นที่เป็นสองเท่าของรูปสามเหลี่ยม จากนั้นเปลี่ยนเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
เพื่อที่จะหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ (สีเขียว) ขั้นแรก นำรูปสามเหลี่ยมเดียวกัน หมุนไป 180° และวางมันบนด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ เพื่อให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้นตัดส่วนหนึ่งของรูปและนำไปวางบนอีกด้านหนึ่ง เพื่อให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ bh ฉะนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้จึงเท่ากับ ½bh

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เท่ากับ ผลคูณไขว้ของสองเวกเตอร์

ใช้เวกเตอร์
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถคำนวณได้ด้วยเวกเตอร์ ถ้า AB และ AC เป็นเวกเตอร์ที่ชี้จาก A ไป B และ A ไป C ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD คือ AB × AC หรือขนาดของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ AB กับ AC AB × AC มีค่าเท่ากับ h × AC เมื่อ h แทนเวกเตอร์ส่วนสูง
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน หรือ S = ½AB × AC

ใช้ตรีโกณมิติหาส่วนสูง h
ใช้ตรีโกณมิติ
ส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมหาได้ด้วยตรีโกณมิติ จากรูปทางซ้าย ส่วนสูงจะเท่ากับ h = a sin γ นำไปแทนในสูตร S = ½bh ที่ได้จากข้างต้น จะได้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ S = ½ab sin γ
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จึงเท่ากับ ab sin γ

ใช้พิกัด
ถ้าจุดยอด A อยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และกำหนดให้พิกัดของอีกสองจุดยอดอยู่ที่ B = (x1, y1) และ C = (x2, y2) แล้วพื้นที่ S จะคำนวณได้จาก 1/2 เท่าของค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์
หรือ S = ½ x1y2 − x2y1

ใช้สูตรของเฮรอน
อีกวิธีที่ใช้คำนวณ S ได้คือใช้สูตรเฮรอน
เมื่อ s = ½ (a + b + c) คือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม

ใช้ความยาวด้านและสูตรที่เสถียรเชิงตัวเลข
สูตรเฮรอนนั้นไม่เสถียรเชิงตัวเลขสำหรับรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมขนาดเล็กมากๆ วิธีที่ดีกว่าคือ เรียงความยาวของด้านตามนี้ a ≥ b ≥ c และคำนวณจาก
วงเล็บในสูตรนั้น จำเป็นต้องใส่ตามลำดับเพื่อป้องกันความไม่เสถียรเชิงตัวเลขในการหาค่า
ของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ
ถ้ามีส่วนประกอบของรูปสามเหลี่ยม (จุดยอด หรือด้าน) 4 ส่วน อยู่บนระนาบเดียวกันแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นจะอยู่บนระนาบเดียวกัน นักเรขาคณิตได้ศึกษารูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบด้วย ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมในเรขาคณิตทรงกลม และ รูปสามเหลี่ยมเชิงไฮเพอร์โบลาในเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา

การวัดมุมเป็นเรเดียน

การวัดมุมเป็นเรเดียน

ก ารวัดมุมในอีกมาตราหนึ่ง แทนที่จะเป็นองศา และแบ่งเป็น 360 องศา ก็ใช้หลักการของ arctan หรือมุมที่จะบอกค่าของ tan เช่น
arctan (1) มีค่าเท่ากับ 45 องศา
จากหลักการของทฤษฎี ทำให้เราได้ a2 + b2= h2

ดังนั้นเราแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสามส่วน ด้านฐาน 2 ส่วน แบ่งครึ่งเป็น 1 ส่วน และได้มุม 60 องศา และ 30 องศา ดังนั้น ความสูง h2 = 22 -12 = 3 หรือได้ความสูง = 3
หากเราคิดค่าความลาดชันตามที่ได้กล่าวแล้ว เราจะได้ฟังก์ชัน arctan ซึ่ง เราอาจเขียนสั้น ๆ ว่า atan
ในปี 1672 เจมส์ กรีกอรี ได้เสนอสูตรในการคำนวนค่า arctan ของมุมความชันจนถึงค่า 45 องศา ดังนี้
ค่าที่คำนวณมาได้เป็นมุมในหน่วยเรเดียน โดยใช้หลักการส่วนของวงกลมตามมุมที่แบ่ง
360o
= 2Pi
เรเดียน
180o
= Pi
เรเดียน
90o
= Pi/2
เรเดียน
ดังนั้น 1 องศา จึงเท่ากับ 2 Pi/360 เรเดียน
ที่มา: รศ.ยืน ภู่วรวรรณ,สำนักบริการคอม มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

ค่าของพาย

ตั้งแต่สมัยบาบิโลเนียประมาณ 950 ก่อนคริสตกาล นักคณิตศาสตร์สมัยนั้นให้ความสำคัญและสนใจค่าของ ซึ่งค่าของ นิยามจากอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
ในยุคสมัยแรกใช้ค่า ประมาณเท่ากับ 3 ชาวอียิปต์ใช้ค่า มีค่าเท่ากับ และใช้ค่า
จากการค้นพบแผ่น Papyrus ที่บันทึกวิชาคณิตศาสตร์สมัยอียิปต์ เมื่อราว 1650 ก่อนคริสตกาล กำหนดค่า ไว้เท่ากับ 4(8/9)2 = 3.16
อาร์คีมีดีสให้ค่า มีค่าโดยประมาณ 223/71 < < 22/7
ค่าของ จึงเข้ามาเกี่ยวข้องกับวิวัฒนาการความเจริญของมนุษย์โดยค่าที่ใช้ในยุคต่าง ๆ มีดังนี้
ชื่อนักคณิตศาสตร์
ปี ค.ศ.
ค่าที่ได้
พโธเลมี (Ptolemy)
c.150 AD
3.1416
ซู ซุง (Tsu Chung)
430 - 501 AD
55/113
Al Khwarizmi
คศ.800
3.1416
Al Kashi
คศ.1430
คำนวณได้ 14 ตำแหน่ง
Vite
1540 - 1603
คำนวณได้ 9 ตำแหน่ง
Roomen
1516 - 1615
คำนวณได้ 17 ตำแหน่ง
Van Ceulen
1600
คำนวณได้ 35 ตำแหน่ง
การคำนวณค่าของ มีส่วนเกี่ยวข้องกับวิชาเรขาคณิตและการคำนวณทางตรีโกณมิติอย่างมากเพราะเกี่ยวข้องกับเรื่องของมุม
ที่มา: ยืน ถู่วรวรรณ,สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์